매트릭스 미성년자

주어진 사각형을 보자 행렬 A, n 번째 순서입니다. 미성년자일부 요소 aij, n차 행렬의 행렬식은 다음과 같습니다. 결정자(n - 1) - 선택한 요소 aij가 위치한 교차점에서 행과 열을 지워 원래 순서에서 얻은 차수입니다. Mij로 표시됩니다.

예를 살펴 보겠습니다. 행렬의 행렬식 3 - 순서:
미성년자 및 대수적 보완, 행렬 3의 행렬식은 정의에 따른 순서입니다. 미성년자, 미성년자요소 a12에 해당하는 M12는 다음과 같습니다. 결정자:동시에 도움을 받아 미성년자계산 작업을 더 쉽게 할 수 있습니다 행렬의 행렬식. 널리 퍼뜨려야 해 행렬식어떤 선을 따라 그리고 나서 결정자미성년자에 의한 이 줄의 모든 요소의 합계와 같습니다. 분해 행렬의 행렬식 3 - 순서는 다음과 같습니다.


, 제품 앞의 기호는 (-1) n입니다. 여기서 n = i + j입니다.

대수적 추가:

대수적 보완요소 aij는 다음과 같습니다. 미성년자, 합(i + j)이 짝수이면 "+" 기호를 사용하고, 이 합이 홀수이면 "-" 기호를 사용합니다. Aij로 표시됩니다.
Аij = (-1)i+j × Мij.

그러면 위에서 언급한 속성을 다시 공식화할 수 있습니다. 행렬식특정 행(행 또는 열)의 요소 곱의 합과 같습니다. 행렬그들의 해당 대수적 추가. 예.

행렬 변환을 사용하지 않으면 행렬식은 2x2 및 3x3 크기의 행렬에 대해서만 쉽게 계산할 수 있습니다. 이는 다음 공식에 따라 수행됩니다.

매트릭스의 경우

행렬식은 다음과 같습니다:

매트릭스의 경우

행렬식은 다음과 같습니다:

a11*(a22*a33-a23*a32)-a12*(a21*a33-a23*a31)+a13*(a21*a32-a22*a31)

4x4 이상의 행렬에 대한 계산은 어려우므로 행렬식의 속성에 따라 변환해야 합니다. 어떤 열이나 행 중 하나를 제외한 모든 값이 0인 행렬을 얻으려고 노력해야 합니다. 그러한 행렬의 예:

이를 위해 행렬식은 다음과 같습니다.

A12*(a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41))

그것을 참고

a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41)

이것은 행렬을 분해하는 행/열의 유일한 0이 아닌 숫자가 있는 교차점에서 행과 열을 빼서 얻은 행렬의 행렬식을 계산합니다.

그리고 결과 값에 "0" 열/행의 동일한 숫자를 곱하고, 숫자에 -1을 곱할 수 있습니다(아래의 모든 세부 사항 참조).

행렬을 삼각형 형태로 줄이면 행렬식은 대각선을 따라 숫자의 곱으로 계산됩니다. 예를 들어, 매트릭스의 경우

행렬식은 다음과 같습니다.

5x5, 6x6 행렬 및 기타 큰 차원에서도 동일한 작업을 수행해야 합니다.

행렬변환은 행렬식의 속성에 따라 수행되어야 합니다. 하지만 4x4 행렬의 행렬식 계산을 연습하기 전에 3x3 행렬로 돌아가서 행렬식이 어떻게 계산되는지 자세히 살펴보겠습니다.

미성년자

행렬의 행렬식은 개념에 재귀가 있기 때문에 이해하기가 쉽지 않습니다. 행렬의 행렬식은 (다른) 행렬의 행렬식을 포함하여 여러 요소로 구성됩니다.

여기서 막히는 것을 피하기 위해, 행렬의 행렬식은 다음과 같다고 (일시적으로) 가정해 봅시다.

다음과 같이 계산됩니다.

다음과 같은 규칙과 개념도 이해해 봅시다. 미성년자그리고 대수적 보완.

문자 i는 행의 서수를 나타내고 문자 j는 열의 서수를 나타냅니다.

a ij는 i행과 j열의 교차점에 있는 행렬 요소(숫자)를 의미합니다.

원래 행렬에서 i행과 j열을 제거하여 얻은 행렬을 상상해 봅시다. 원래 행렬에서 i행과 j열을 제거하여 얻은 새 행렬의 행렬식을 요소 a ij의 마이너 M ij라고 합니다.

말한 내용을 설명해 보겠습니다. 행렬이 주어졌다고 가정하자

그런 다음 요소 a 11의 마이너 M 11을 결정하려면 첫 번째 행과 첫 번째 열을 제거하여 원래 행렬에서 얻은 새 행렬을 만들어야 합니다.

그리고 이에 대한 행렬식을 계산합니다: 2*1 – (-4)*0 = 2

요소 a 22의 마이너 M 22를 결정하려면 두 번째 행과 두 번째 열을 제거하여 원래 행렬에서 얻은 새 행렬을 만들어야 합니다.

그리고 이에 대한 행렬식을 계산합니다: 1*1 -3*3 = -8

대수적 보완

요소 a ij에 대한 대수적 보수 A ij는 이 요소의 부 M ij이며, 이 요소가 있는 교차점의 행 및 열 인덱스(i + j)의 합이 다음과 같은 경우 "+" 기호로 표시됩니다. 짝수이고, 지수의 합이 홀수이면 "-" 기호가 붙습니다.

따라서,

이전 예의 행렬의 경우

A 11 = (-1) (1+1) * (2*1 – (-4)*0) = 2

A 22 = (-1) (2+2) * (1*1 -3*3) = -8

행렬식 계산

행렬 A에 대응하는 n차 행렬식은 det A로 표시되고 다음 공식으로 계산됩니다.

이 공식의 모든 내용은 이미 우리에게 익숙합니다. 이제 행렬의 행렬식을 계산해 보겠습니다.

행 i = 1,2,..., n 또는 열 j = 1, 2,..., n의 수가 무엇이든, n차 행렬식은 이 행 또는 이 행의 요소 곱의 합과 같습니다. 열은 대수적 보수로 표시됩니다. 즉,

저것들. 행렬식은 모든 열이나 행에서 계산할 수 있습니다.

이를 확인하기 위해 두 번째 열을 사용하여 마지막 예의 행렬에 대한 행렬식을 계산해 보겠습니다.

보시다시피 결과는 동일하며 이 행렬의 행렬식은 계산하는 행이나 열에 관계없이 항상 -52입니다.

행렬식의 속성

  1. 행렬식의 행과 열은 동일합니다. 즉, 순서를 유지하면서 행과 열을 바꿔도 행렬식의 값은 변경되지 않습니다. 이 작업을 행렬식 전치라고 합니다. 공식화된 속성 det A = det AT에 따라.
  2. 두 개의 행(또는 두 개의 열)이 바뀌면 행렬식은 절대값을 유지하지만 부호는 반대로 변경됩니다.
  3. 두 개의 동일한 행(또는 열)이 있는 행렬식은 0과 같습니다.
  4. 행렬식의 특정 행(또는 일부 열)의 모든 요소에 숫자 λ를 곱하는 것은 행렬식에 숫자 λ를 곱하는 것과 같습니다.
  5. 행렬식의 행(또는 열)의 모든 요소가 0이면 행렬식 자체도 0입니다.
  6. 행렬식의 두 행(또는 두 열)의 요소가 비례하는 경우 행렬식은 0과 같습니다.
  7. 행렬식의 특정 행(또는 일부 열)의 요소에 다른 행(다른 열)의 해당 요소를 추가하고 임의의 요소 λ를 곱하면 행렬식의 값은 변경되지 않습니다.
  8. 행렬식의 임의 행(열) 요소와 다른 행(다른 열) 요소의 해당 대수적 보수의 곱의 합은 0과 같습니다.
  9. 행렬식의 i번째 행의 모든 ​​요소가 두 항 aij = b j + c j의 합으로 표시되면 행렬식은 i번째 행을 제외한 모든 행이 동일한 두 행렬식의 합과 같습니다. 주어진 행렬식에서와 같이 항 중 하나의 i번째 행은 b j 요소로 구성되고 다른 행은 c j 요소로 구성됩니다. 행렬식의 열에도 비슷한 속성이 적용됩니다.
  10. 두 정사각 행렬의 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같습니다: det (A * B) = det A * det B.

어떤 차수의 행렬식을 계산하려면 행렬식의 차수를 연속적으로 줄이는 방법을 사용할 수 있습니다. 이렇게 하려면 행렬식을 행이나 열의 요소로 분해하는 규칙을 사용하세요. 행렬식을 계산하는 또 다른 방법은 주로 행렬식 4와 7의 속성에 따라 행(또는 열)이 있는 기본 변환을 사용하여 행렬식을 행렬식의 주대각선 아래에 있을 때의 형식으로 줄이는 것입니다(같은 방식으로 정의됨). 정사각 행렬의 경우) 모든 요소는 0과 같습니다. 그러면 행렬식은 주대각선에 있는 요소들의 곱과 같습니다.

계산 작업량을 줄이기 위해 차수를 순차적으로 낮추어 행렬식을 계산할 때 행렬식의 행 또는 열 요소 중 일부를 0으로 설정하기 위해 7개의 행렬식 속성을 사용하는 것이 좋습니다. 계산된 대수적 덧셈.

행렬을 삼각형 형태로 줄이고, 행렬식 계산을 용이하게 하기 위해 행렬을 변환합니다.

아래에 표시된 방법은 3x3 행렬에는 실용적이지 않지만 간단한 예를 사용하여 방법의 본질을 살펴볼 것을 제안합니다. 이미 행렬식을 계산한 행렬을 사용해 보겠습니다. 계산의 정확성을 확인하는 것이 더 쉬울 것입니다.

행렬식의 7번째 속성을 사용하여 두 번째 줄에서 세 번째 줄을 빼고 2를 곱합니다.

세 번째 줄에서 행렬식의 첫 번째 줄에 해당하는 요소를 빼고 3을 곱합니다.

주대각선 아래에 있는 행렬식의 요소는 0과 같으므로 결정은 주대각선에 있는 요소의 곱과 같습니다.

1*2*(-26) = -52.

보시다시피, 답변은 이전에 받은 답변과 일치했습니다.

행렬식의 공식을 기억해 봅시다.

행렬식은 대수적 보수의 합에 행 중 하나 또는 열 중 하나의 항을 곱한 값입니다.

변환의 결과로 행(또는 열) 중 하나가 한 위치를 제외하고 완전히 0으로 구성되면 모든 대수 덧셈을 계산할 필요가 없습니다. 왜냐하면 덧셈은 확실히 0이 되기 때문입니다. . 이전 방법과 마찬가지로 이 방법은 대규모 행렬에 사용하는 것이 좋습니다.

동일한 행렬에 대한 예를 보여드리겠습니다.

행렬식의 두 번째 열에는 이미 하나의 0 요소가 포함되어 있음을 알 수 있습니다. 두 번째 줄의 요소에 첫 번째 줄의 요소에 -1을 곱한 값을 더합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

두 번째 열의 행렬식을 계산해 보겠습니다. 나머지는 명백히 0으로 줄어들기 때문에 대수적 덧셈 하나만 계산하면 됩니다.

행렬 4x4, 5x5 및 그 이상의 차원에 대한 행렬식 계산

큰 행렬에 대해 너무 많은 계산을 피하려면 위에 설명된 변환을 수행해야 합니다. 몇 가지 예를 들어 보겠습니다.

결정 행렬 계산

해결책 행렬식의 7번째 속성을 사용하여 두 번째 줄에서 세 번째를 빼고 네 번째 줄에서 행렬식의 첫 번째 줄에 해당하는 요소에 각각 3, 4, 5를 곱합니다. (2) - (13; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. 우리는 다음을 얻습니다:

행동을 해보자

작업 1.

주어진 행렬식에 대해

α 12, α 32 요소의 미성년자 및 대수적 보완을 찾습니다. 계산 행렬식 : a) 첫 번째 행과 두 번째 열의 요소로 분해합니다. b) 이전에 첫 번째 줄에서 0을 받았습니다.

우리는 찾는다:

남 12 =
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

남 32 =
= –12+12–12–8 = –20.

요소 a 12 및 a 32의 대수적 보수는 각각 동일합니다.

A 12 = (–1) 1+2 M 12 = –(–18) = 18,

A 32 = (–1) 3+2 M 32 = –(–20) = 20.

a) 행렬식을 첫 번째 행의 요소로 확장하여 계산해 보겠습니다.

A 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 + a 14 A 14 = –3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

행렬식을 두 번째 열의 요소로 확장해 보겠습니다.

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

b) 이전에 첫 번째 줄에서 0을 받았으므로 계산해 보겠습니다. 우리는 행렬식의 해당 속성을 사용합니다. 행렬식의 세 번째 열에 3을 곱하고 첫 번째 열에 더한 다음 -2를 곱하여 두 번째 열에 더해 보겠습니다. 그러면 첫 번째 줄에서 하나를 제외한 모든 요소는 0이 됩니다. 이런 방식으로 얻은 행렬식을 첫 번째 행의 요소로 분해하고 계산해 보겠습니다.

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(3차 행렬식에서는 위와 같은 행렬식의 특성으로 인해 첫 번째 열에서 0을 얻었습니다.) ✔

작업 2.

선형 불균일 대수 방정식 시스템이 제공됩니다.

이 시스템이 호환되는지 확인하고, 그렇다면 문제를 해결하십시오. a) Cramer의 공식을 사용합니다. b) 역행렬(행렬법)을 사용하는 것; c) 가우스 방법.

Kronecker–Capelli 정리를 사용하여 이 시스템의 호환성을 확인해 보겠습니다. 기본 변환을 사용하여 행렬의 순위를 찾습니다.

ㅏ =

주어진 시스템과 확장 행렬의 순위

안에 =

.

이렇게 하려면 행렬 B의 첫 번째 행에 –2를 곱하고 두 번째 행에 더한 다음 첫 번째 행에 –3을 곱하고 세 번째 행에 더하고 두 번째와 세 번째 열을 바꿉니다. 우리는 얻는다

안에 =

~

~
.

그러므로 순위 ㅏ= 순위 안에= 3(즉, 미지수의 수). 이는 원래 시스템이 일관되고 고유한 솔루션을 가지고 있음을 의미합니다.

a) Cramer의 공식에 따르면

x = 엑스/ , y = 와이/ , z = 지/ ,

=
= – 16;

엑스 =
= 64;

와이 =
= – 16;

지=
= 32,

우리는 찾는다: 엑스 = 64/(– 16) = – 4, 와이 = – 16/(– 16) = 1, 지 = 32/(– 16)= – 2;

b) 역행렬을 사용하여 연립방정식의 해를 찾기 위해 연립방정식을 행렬 형식으로 작성합니다. 아 = . 행렬 형태의 시스템 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다. x = 에이 –1 . 공식을 사용하여 역행렬을 찾습니다. ㅏ –1 (= det 때문에 존재합니다 ㅏ = – 16 ≠ 0):

ㅏ 11 =
= – 15, ㅏ 21 = –
= 16, ㅏ 31 =
= – 11,

ㅏ 12 = –
= – 3, ㅏ 22 =
= 0, ㅏ 32 = –
= 1,

ㅏ 13 =
= – 14, ㅏ 23 = –
= 16, ㅏ 33 =
= – 6,

ㅏ –1 =

.

시스템 솔루션:

엑스 = =
=
=

.

그래서, 엑스 = –4, 와이 = 1, 지 = –2;

c) 가우스 방법을 사용하여 시스템을 풀어보겠습니다. 제외하자 엑스두 번째와 세 번째 방정식으로부터. 이렇게 하려면 첫 번째 방정식에 2를 곱하고 두 번째 방정식에서 뺀 다음 첫 번째 방정식에 3을 곱하고 세 번째 방정식에서 뺍니다.

우리가 찾은 결과 시스템에서 엑스 = – 4, 와이 = 1, 지 = –2. ◄

작업 5.

피라미드의 꼭지점은 점에 있습니다. A(2; 3; 4), B(4; 7; 3), C(1; 2; 2)그리고 D(– 2; 0; – 1).계산 : a) 얼굴 면적 알파벳; b) 리브의 중앙을 통과하는 단면적 AB, A.C., 기원 후; c) 피라미드의 부피 ABCD.

A) S ABC =로 알려져 있다.
. 우리는 찾는다:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 나 + 5 제이 + 2 케이.

마지막으로 우리는 다음을 갖습니다:

S ABC =
=
;

b) 갈비뼈의 중간점 AB, 해그리고 ㅏ디지점에 있습니다 K(3; 5; 3.5),

남(1.5; 2.5; 3),N (0; 1,5; 1,5) . 다음은 다음과 같습니다.

에스 학살 =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3.25i – 1.5j – 2.25k,

에스 학살 =
=
;

c) 이후 V 잔치 =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, 저것 V = 11/6 . ◄

문제 6

힘 에프 = (2; 3;– 5) 포인트에 적용 A(1; – 2; 2). 계산하다: a) 힘의 작용 에프 직선으로 움직이는 적용 지점이 위치에서 이동하는 경우 ㅏ위치에 B(1; 4; 0); b) 모멘트 계수 에프 점에 비해 안에.

가) 이후 A =에프 · 에스 , 에스 =
= (0; 6; – 2) ,

저것 에프 · = 2·0 + 3·6 + (– 5)(– 2) = 28; A = 28;

b) 힘의 순간 중 =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 나 + 4 제이 + 12 케이 .

따라서, =
= 4
. ◄

작업 8.

알려진 최고점 O(0; 0),ㅏ(– 2; 0) 평행사변형 오아스디그리고 그 대각선의 교차점 B(2;–2). 평행사변형 변의 방정식을 적어보세요.

부수식 OA즉시 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 와이 = 0 . 게다가 그 시점부터 안에대각선의 중간점이다 기원 후(그림 1) 그런 다음 세그먼트를 반으로 나누는 공식을 사용하여 꼭지점의 좌표를 계산할 수 있습니다 디(엑스; 와이) :

2 =
, –2 =
,

어디 엑스 = 6 , 와이 = –4 .

이제 다른 모든 변에 대한 방정식을 찾을 수 있습니다. 측면의 평행도를 고려하여 O.A. 그리고 CD, 우리는 변의 방정식을 구성합니다 CD: 와이 = –4 . 부수식 외경두 가지 알려진 지점에서 컴파일됩니다.

=
,

어디 와이 = – 엑스, 2 엑스 + 3 와이 = 0 .

마지막으로 변의 방정식을 구합니다. A.C., 알려진 지점을 통과한다는 사실을 고려하면 A (– 2; 0)알려진 선과 평행 외경:

와이 – 0 = – (엑스 + 2) 또는 2 엑스 + 3 와이 + 4 = 0 . ◄


작업 9.

삼각형의 꼭지점이 주어졌을 때 알파벳: ㅏ(4; 3), 비(– 3; – 3), 씨(2; 7) . 찾다:

a) 측면 방정식 AB;

b) 높이 방정식 CH;

c) 중앙 방정식 오전.;

d) 포인트 N중앙 교차로 오전.그리고 높이 CH;

e) 꼭지점을 통과하는 선의 방정식 씨측면에 평행 AB;

e) 지점으로부터의 거리 씨직선으로 AB.

가) 방정식을 이용하여 두 점을 지나는 직선, 우리는 변의 방정식을 얻습니다 AB:

=
,

어디 6(엑스 – 4) = 7(와이 – 3) 또는 6 엑스 – 7 와이 – 3 = 0 ;

b) 방정식에 따르면

와이 = kx + 비 (케이 = tg α ) ,

직선 경사 AB 케이 1 =6/7 . 고려 선의 직각 조건 AB그리고 CH고도 경사 CH 케이 2 = –7/6 (케이 1∙ 케이 2 = –1). 포인트별 씨(2; 7) 그리고 경사 케이 2 = –7/6 높이 방정식을 구성하다 CH: (와이 – 와이 0 = 케이(엑스 – 엑스 0 ) )

와이 – 7 = – (엑스 – 2) 또는 7 엑스 + 6 와이 – 56 = 0 ;

c) 알려진 공식을 사용하여 좌표를 찾습니다. 엑스, 와이가운데 중분절 기원전:

엑스 = (– 3 + 2)/2 = –1/2, 와이 = (– 3 + 7)/2 = 2.

이제 두 가지 알려진 지점에 대해 ㅏ그리고 중중앙 방정식을 작성하다 오전.:

=
또는 2 엑스 – 9 와이 + 19 = 0 ;

d) 점의 좌표를 찾으려면 N중앙 교차로 오전.그리고 높이 CH연립방정식을 구성하다

그것을 해결하면 우리는 얻습니다. N (26/5; 49/15) ;

e) 꼭지점을 통과하는 선 이후 씨, 측면과 평행 AB이면 각도 계수가 동일합니다. 케이 1 =6/7 . 그런 다음 방정식에 따르면:

와이 – 와이 0 = 케이(엑스 – 엑스 0 ) , 점별 씨그리고 경사 케이 1 직선의 방정식을 작성하다 CD:

와이 – 7 = (엑스 – 2) 또는 6 엑스 – 7 와이 + 37 = 0 ;

f) 지점으로부터의 거리 씨직선으로 AB잘 알려진 공식을 사용하여 계산됩니다.

디 = | CH| =

이 문제에 대한 해결책이 그림 1에 나와 있습니다. 2 ◀

문제 10.

4점을 주었더니 ㅏ 1 (4; 7; 8), A 2 (– 1;13; 0), A 3 (2; 4; 9), A 4 (1; 8; 9) . 방정식을 구성하십시오:

가) 비행기 ㅏ 1 ㅏ 2 ㅏ 3 ; b) 직선 ㅏ 1 ㅏ 2 ;

다) 똑바로 ㅏ 4 중, 평면에 수직 ㅏ 1 ㅏ 2 ㅏ 3 ;

d) 직선 ㅏ 4 N, 선과 평행 ㅏ 1 ㅏ 2 .

계산하다:

e) 직선 사이의 각도의 사인 ㅏ 1 ㅏ 4 그리고 비행기 ㅏ 1 ㅏ 2 ㅏ 3 ;

e) 좌표평면 사이의 각도의 코사인 에 대한xy그리고 비행기 ㅏ 1 ㅏ 2 ㅏ 3 .

가) 공식을 이용하여 세 점의 평면 방정식, 우리는 평면의 방정식을 구성합니다 ㅏ 1 ㅏ 2 ㅏ 3 :

어디 6x – 7y – 9z + 97 = 0;

b) 고려 두 점을 지나는 직선의 방정식, 직선 방정식 ㅏ 1 ㅏ 2 형태로 쓸 수 있다

=
=
;

c) 에서 직선의 수직성의 조건 ㅏ 4 중 그리고 비행기 ㅏ 1 ㅏ 2 ㅏ 3 그것은 직선의 방향 벡터로 따른다 에스법선 벡터를 사용할 수 있습니다 N = (6; – 7; – 9) 비행기 ㅏ 1 ㅏ 2 ㅏ 3 . 그러면 직선의 방정식은 ㅏ 4 중고려 표준적인직선의 방정식은 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.

=
=
;

d) 직선이므로 ㅏ 4 N선과 평행 ㅏ 1 ㅏ 2 , 방향 벡터 에스 1 그리고 에스 2는 동일한 것으로 간주될 수 있습니다. 에스 1 =에스 2 = (5; – 6; 8) . 따라서 직선의 방정식은 ㅏ 4 N처럼 보인다

=
=
;

d) 찾는 공식에 따르면 직선과 평면이 이루는 각도의 크기

죄 φ =

f) 찾기 공식에 따라 평면 사이의 각도

cos ∅ =
=
◄

문제 11.

두 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하세요. 중(4; 3; 1) 그리고

N(– 2; 0; – 1) 점을 지나는 선과 평행 ㅏ(1; 1; – 1) 그리고

비(– 3; 1; 0).

공식에 따르면 공간의 선 방정식두 점을 지나는 선의 방정식 AB처럼 보인다

=
=
.

비행기가 한 지점을 통과하는 경우 중(4; 3; 1) 이면 방정식은 다음과 같은 형식으로 작성될 수 있습니다. ㅏ(엑스 – 4) + 비(와이 – 3) + 씨(지 – 1) = 0 . 이 평면도 점을 통과하므로 N(– 2; 0; – 1) , 그러면 조건이 만족됩니다.

A(– 2 – 4) + B(0 – 3) + C(– 1 – 1) = 0또는 6A + 3B + 2C = 0.

원하는 평면이 찾은 선과 평행하기 때문에 AB, 수식을 고려하여 선과 평면의 평행성의 조건우리는:

–4A + 0B + 1C = 0또는 4A – C = 0.

시스템 해결

우리는 그것을 발견 씨 = 4 ㅏ, 비 = – ㅏ. 얻은 값을 대입하자 와 함께그리고 비원하는 평면의 방정식에 우리는

에(x – 4) – A(y – 3) + 4A(z – 1) = 0.

왜냐하면 ㅏ ≠ 0 , 결과 방정식은 방정식과 동일합니다.

3(x – 4) – 14(y – 3) + 12(z – 1) = 0. ◄

문제 12.

좌표 찾기 엑스 2 , 와이 2 , 지 2 포인트들 중 2 , 대칭점 중 1 (6; – 4; – 2) 비행기에 비해 엑스 + 와이 + 지 – 3 = 0 .

직선의 매개변수 방정식을 적어보자 중 1 중 2 , 이 평면에 수직: 엑스 = 6 + 티, 와이 = – 4 + 티, 지 = – 2 + 티. 주어진 평면의 방정식과 함께 그것들을 풀면, 우리는 다음을 발견합니다: 티 = 1 그러므로 요점은 중직선의 교차점 중 1 중 2 이 비행기로: 중 (7; – 3; – 1) . 시점부터 중세그먼트의 중간 지점입니다. 중 1 중 2 , 그러면 평등이 사실입니다.; c) 준선 b가 있는 포물선

  • 선형 대수학의 요소 이 섹션에는 "선형 대수학" 주제에서 논의되는 주요 문제 유형이 포함됩니다: 행렬식 계산, 동작

    문서

    정사각형 행렬 찾다ㅏ) 미성년자 요소; 비) 대수학 덧셈 요소; V) ... 찾다ㅏ) 미성년자 요소; 비) 대수학 덧셈 요소; c) 첫 번째 줄에서 이전에 0을 받은 행렬식. 해결책 a) 미성년자 요소 ...

  • 나. 선형대수학 및 해석기하학의 요소

    문서

    ... 요소행렬". 정의. 대수학 덧셈 요소аік 행렬 A가 호출됩니다. 미성년자이 행렬의 Mik에 (-1)과 + k를 곱합니다. 대수학 덧셈 요소...방법. 예 1. 주어진 행렬 찾다 A. 솔루션. 변신해보자...

  • 해결 방법: 두 개의 행렬을 추가할 때 첫 번째 행렬의 각 요소에 두 번째 행렬의 요소를 추가해야 합니다.

    해결책

    칼럼으로 이동; ~라고 불리는 미성년자 요소. 그런 다음 정의에 따라 (1) – 대수학 덧셈 요소, 그런 다음 (2) ... 행렬에 대한 선형 연산 문제입니다. 찾다행렬과 곱의 합이... 호환 가능하면 필수입니다. 찾다일반적인 솔루션입니다. ...

  • 전문 분야 "수학" 분야에서 학생의 과외 활동 독립적 작업 수행을 위한 방법론적 권장 사항

    지침

    이러한 행렬식을 다음과 같이 부릅니다. 미성년자 요소 aij. 지정 미성년자– 미지. 예: 찾다 미성년자 요소행렬식의 a12 ... 하나 더 낮고 미성년자동일: 대수학 덧셈 요소행렬식은 그것을 불린다 미성년자그와 함께 찍은...

    • 미성년자M ij요소 에이 ij 결정자 N -차수를 순서 결정자(order determinant)라고 합니다( n-1 ), 이 요소가 위치한 행과 열을 지워서 주어진 행렬식으로부터 얻습니다( 나 -번째 줄과 제이 번째 열).

    대수적 보완요소 에이 ij 다음 표현식으로 제공됩니다.

    순서 결정 요인 N>3 행렬식을 행이나 열의 요소로 확장하는 것에 대한 정리를 사용하여 계산됩니다.

    정리.행렬식은 모든 행 또는 열의 요소와 이러한 요소에 해당하는 대수적 보수의 곱의 합과 같습니다.

    예.

    행렬식을 행이나 열의 요소로 분해하여 계산합니다.

    해결책

    1. 한 행이나 한 열에 0이 아닌 요소가 하나만 있으면 행렬식을 변환할 필요가 없습니다. 그렇지 않으면 행렬식 분해에 대한 정리를 적용하기 전에 다음 속성을 사용하여 이를 변환합니다. 행(열)의 요소에 다른 행(열)의 해당 요소를 추가하고 임의의 요소를 곱하면 행렬식의 값은 변하지 않습니다.

    3행의 요소에서 2행의 해당 요소를 뺍니다.

    4열의 요소에서 해당하는 3열의 요소를 빼고 2를 곱합니다.

    행렬식을 세 번째 행의 요소로 확장합니다.

    2. 결과로 나온 3차 행렬식은 삼각형 규칙이나 Sarrus의 규칙을 사용하여 계산할 수 있습니다(위 참조). 그러나 행렬식의 요소는 상당히 크므로 먼저 변환하여 행렬식을 확장해 보겠습니다.

    두 번째 줄의 요소에서 첫 번째 줄의 해당 요소를 빼고 3을 곱합니다.

    첫 번째 줄의 요소에서 세 번째 줄의 해당 요소를 뺍니다.

    1행의 요소에 2행의 해당 요소를 추가합니다.

    0행 행렬식은 0입니다.

    따라서 순서 결정 요인은 N>3 계산됩니다 :

    · 행렬식의 특성을 사용하여 행렬식을 삼각형 형태로 변환합니다.

    · 행렬식을 항이나 열 요소로 분해하여 차수를 낮춥니다.

    매트릭스 순위.

    행렬의 순위는 중요한 수치적 특성입니다. 행렬의 순위를 찾는 가장 일반적인 문제는 선형 대수 방정식 시스템의 일관성을 확인하는 것입니다.

    행렬을 취하자 ㅏ 주문하다 피엑스 N . 허락하다 케이 – 가장 작은 수를 초과하지 않는 자연수 피 그리고 N , 그건,

    마이너 k번째 순서행렬 ㅏ 정사각 행렬의 행렬식이라고 불린다. 케이 엑스 케이 , 행렬 요소로 구성 ㅏ , 이는 미리 선택된 케이 라인과 케이 열 및 행렬 요소의 배열 ㅏ 저장되었습니다.

    행렬을 고려해보세요:

    이 행렬의 몇 가지 1차 마이너를 적어 보겠습니다. 예를 들어 행렬의 세 번째 행과 두 번째 열을 선택하면 ㅏ , 그러면 우리의 선택은 1차 마이너 det(-4)=-4에 해당합니다. 즉, 이 마이너를 얻기 위해 행렬에서 첫 번째와 두 번째 행뿐만 아니라 첫 번째, 세 번째, 네 번째 열도 삭제했습니다. ㅏ , 그리고 나머지 요소로부터 그들은 행렬식을 구성했습니다.

    따라서 행렬의 1차 마이너는 행렬 요소 자체입니다.

    몇 가지 2차 미성년자를 보여드리겠습니다. 두 개의 행과 두 개의 열을 선택합니다. 예를 들어 첫 번째와 두 번째 행, 세 번째와 네 번째 열을 사용합니다. 이 선택으로 우리는 2차 부전공을 갖게 되었습니다.
    .

    행렬의 두 번째 차수의 또 다른 마이너 ㅏ미성년자이다

    마찬가지로, 행렬의 3차 마이너를 찾을 수 있습니다. ㅏ . 매트릭스에 있기 때문에 ㅏ세 줄만 있으면 모두 선택하세요. 이 행의 처음 세 열을 선택하면 3차 마이너가 생성됩니다.

    또 다른 3차 미성년자는 다음과 같습니다.

    주어진 행렬에 대해 ㅏ 3위 이상의 미성년자는 없습니다.

    미성년자는 몇 명인가요? 케이 -우와행렬 순서 ㅏ주문하다 피 엑스 N ? 꽤 많이!

    주문한 미성년자 수 케이다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

    매트릭스 순위를 행렬의 0이 아닌 마이너의 최고 차수라고 합니다.

    매트릭스 순위 ㅏ 로 표시 순위 (A). 행렬 순위와 행렬 마이너의 정의를 통해 영 행렬의 순위는 0과 같고 0이 아닌 행렬의 순위는 1보다 작지 않다는 결론을 내릴 수 있습니다.

    따라서 행렬의 순위를 찾는 첫 번째 방법은 다음과 같습니다. 미성년자 집계 방식 . 이 방법은 행렬의 순위 결정을 기반으로 합니다.

    행렬의 순위를 구해야 합니다. ㅏ 주문하다 피 엑스 N .

    0과 다른 행렬 요소가 하나 이상 있으면 행렬의 순위는 적어도 1과 같습니다(0이 아닌 1차 마이너가 있으므로).

    다음으로 2차 미성년자를 살펴보겠습니다. 모든 2차 마이너가 0이면 행렬의 순위는 1과 같습니다. 두 번째 순서의 0이 아닌 마이너가 하나 이상 있으면 세 번째 순서의 마이너를 열거하고 행렬의 순위는 최소한 2와 같습니다.

    마찬가지로 모든 3차 마이너가 0이면 행렬의 순위는 2입니다. 0이 아닌 3차 마이너가 하나 이상 있으면 행렬의 순위는 3 이상이 되며, 4차 마이너 열거로 넘어갑니다.

    행렬의 순위는 가장 작은 숫자를 초과할 수 없습니다. 피 그리고 N .

    예.

    행렬의 순위 찾기
    .

    해결책.

    1. 행렬은 0이 아니므로 순위는 1보다 작지 않습니다.

    2. 2차 미성년자 중 1명
    는 0과 다르기 때문에 행렬의 순위는 다음과 같습니다. ㅏ 적어도 두 개.

    3. 3차 미성년자

    모든 3차 미성년자는 0과 같습니다. 따라서 행렬의 순위는 2입니다.

    순위(A) = 2.

    더 적은 계산 작업으로 결과를 얻을 수 있도록 하는 행렬의 순위를 찾는 다른 방법이 있습니다.

    그러한 방법 중 하나는 가장자리 마이너 방법 . 이 방법을 사용하면 계산량이 다소 줄어들지만 여전히 상당히 번거롭습니다.

    기본 변환(가우스 방법)을 사용하여 행렬의 순위를 찾는 또 다른 방법이 있습니다.

    다음 행렬 변환을 호출합니다. 초등학교 :

    · 행렬의 행(또는 열) 재배열;

    · 행렬의 모든 행(열)에 있는 모든 요소에 임의의 숫자를 곱합니다. 케이, 0과 다름;

    · 임의의 행(열)의 요소에 행렬의 다른 행(열)의 해당 요소를 추가하고 임의의 숫자를 곱합니다. 케이.

    행렬 B는 행렬 A와 동일하다고 합니다., 만약에 안에로부터 나오다 ㅏ유한한 수의 기본 변환을 사용합니다. 행렬 등가성은 기호로 표시됩니다. « ~ » , 즉 이렇게 쓰여 있다 A~B.

    기본 행렬 변환을 사용하여 행렬의 순위를 찾는 것은 다음 진술을 기반으로 합니다. 안에 매트릭스에서 얻은 ㅏ 유한한 수의 기본 변환을 사용한 다음 아르 자형 앙(A) = 울림(B) , 즉. 등가 행렬의 순위는 동일합니다. .

    기본 변환 방법의 본질은 기본 변환을 사용하여 우리가 찾아야 하는 순위인 행렬을 사다리꼴 행렬(특수한 경우 상부 삼각 행렬)로 줄이는 것입니다.

    이 유형의 행렬 순위는 찾기가 매우 쉽습니다. 0이 아닌 요소를 하나 이상 포함하는 줄 수와 같습니다. 그리고 기본 변환을 수행할 때 행렬의 순위는 변경되지 않으므로 결과 값은 원래 행렬의 순위가 됩니다.

    예.

    기본 변환 방법을 사용하여 행렬의 순위를 찾습니다.

    .

    해결책.

    1. 행렬의 첫 번째 행과 두 번째 행을 바꿉니다. ㅏ , 요소 이후 11 =0및 요소 21 0이 아닌:

    ~

    결과 행렬에서 요소는 1과 같습니다. 그렇지 않으면 첫 번째 행의 요소에 . 첫 번째 열을 제외한 첫 번째 열의 모든 요소를 ​​0으로 만들어 보겠습니다. 두 번째 줄에는 이미 0이 있고, 세 번째 줄에는 첫 번째 줄에 2를 곱한 값을 추가합니다.


    결과 행렬의 요소는 0과 다릅니다. 두 번째 행의 요소에 다음을 곱합니다.

    결과 행렬의 두 번째 열은 요소가 이미 0이기 때문에 원하는 형식을 갖습니다.

    왜냐하면 , ㅏ , 그런 다음 세 번째와 네 번째 열을 바꾸고 결과 행렬의 세 번째 행에 다음을 곱합니다.

    원래 행렬은 사다리꼴로 축소되며 순위는 0이 아닌 요소를 하나 이상 포함하는 행 수와 같습니다. 그러한 행이 3개 있으므로 원래 행렬의 순위는 3입니다. 아르 자형 앙(A)=3.


    역행렬.

    행렬을 가지자 ㅏ .

    행렬 A에 역행렬 , 행렬이라고 불린다. A-1 그렇게 A -1 A = A A -1 = E .

    역행렬은 정방행렬에만 존재할 수 있습니다. 게다가 그 자체는 원래 행렬과 동일한 차원입니다.

    정사각 행렬이 역행렬을 가지려면 비특이행렬(즉, Δ ≠0 ). 이 조건도 존재하기에 충분합니다. A-1 매트릭스로 ㅏ . 따라서 모든 비특이 행렬에는 역행렬이 있고, 게다가 고유한 행렬도 있습니다.

    행렬의 예를 사용하여 역행렬을 찾는 알고리즘 ㅏ :

    1. 행렬의 행렬식을 구합니다. 만약에 Δ ≠0 , 그 다음 행렬 A-1 존재합니다.

    2. 원래 행렬의 요소를 대수적으로 추가한 행렬 B를 만들어 보겠습니다. ㅏ . 저것들. 매트릭스에서 안에 요소 나 - 아 라인 그리고 제이 - 번째 열은 대수적 보수가 됩니다. 아이이 요소 에이 ij 원래 매트릭스.

    3. 행렬 전치 안에 그리고 우리는 얻습니다 비 티 .

    4. 결과 행렬을 곱하여 역행렬을 찾습니다. 비 티 번호당 .

    예.

    주어진 행렬에 대해 역행렬을 찾아 확인합니다.

    해결책

    역행렬을 찾기 위해 앞서 설명한 알고리즘을 사용해 보겠습니다.

    1. 역행렬의 존재를 알아내기 위해서는 이 행렬의 행렬식을 계산해야 합니다. 삼각형 규칙을 사용해 보겠습니다.

    행렬은 비특이 행렬이므로 역행렬이 가능합니다.

    모든 행렬 요소의 대수적 보수를 찾아보겠습니다.



    발견된 대수적 추가로부터 행렬이 컴파일됩니다.

    그리고 전치된다

    결과 행렬의 각 요소를 행렬식으로 나누어 원래 행렬과 반대인 행렬을 얻습니다.

    검사는 결과 행렬에 원본 행렬을 곱하여 수행됩니다. 역행렬을 올바르게 찾았다면 곱셈의 결과는 단위행렬이 됩니다.

    주어진 것에 대한 역행렬을 찾으려면 가우스 방법을 사용할 수 있습니다(물론 먼저 행렬이 역행렬인지 확인해야 합니다). 이 방법은 독립적인 작업으로 남겨둡니다.

    행렬식의 모든 요소의 마이너를 호출합니다. 두 번째의 행렬식

    주어진 행렬식에서 이 요소를 포함하는 행과 열을 삭제하여 얻은 순서입니다.요소에 비해 너무 사소함

    요소의 경우:

    행렬식의 모든 요소에 대한 대수적 보수는 인수로 취한 이 요소의 마이너입니다. 여기서 i는 요소의 행 번호이고 j는 열 번호입니다. 따라서 요소의 대수적 보수는 다음과 같습니다.

    예. 대수적 보완 찾기 행렬식의 요소에 대해.

    정리. 행렬식은 열이나 행의 요소와 대수적 보수의 곱의 합과 같습니다.

    즉, 행렬식에 대해 다음과 같은 등식이 성립합니다.

    이러한 등식의 증명은 대수적 덧셈을 행렬식의 요소를 통해 표현으로 대체하는 것으로 구성되며 식(3)을 얻습니다. 이 작업은 직접 수행하는 것이 좋습니다. 6개의 공식 중 하나를 사용하여 행렬식을 바꾸는 것을 행렬식을 해당 열이나 행의 요소로 분해한다고 합니다. 이러한 확장은 행렬식을 계산하는 데 사용됩니다.

    예.두 번째 열의 요소로 행렬식을 확장하여 계산합니다.

    3차 행렬식을 행이나 열의 요소로 확장하는 정리를 사용하면 3차 행렬식에 대한 속성 1-8의 유효성을 증명할 수 있습니다. 이 진술의 타당성을 확인하기 위한 것입니다. 행렬식의 속성과 행렬식을 열 또는 행의 요소로 분해하는 정리를 사용하면 행렬식 계산을 단순화할 수 있습니다.

    예. 행렬식을 계산합니다.

    두 번째 행 요소의 공통 인수 "2"를 계산한 다음 세 번째 열 요소의 동일한 공통 인수를 계산해 보겠습니다.

    첫 번째 줄의 요소를 두 번째 줄의 해당 요소에 추가한 다음 세 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

    행렬식을 첫 번째 열의 요소로 확장해 보겠습니다.