Matrix minors

Нека даден квадрат матрица A, n - ти ред. Незначителеннякакъв елемент aij се нарича детерминантата на матрица от n-ти ред детерминант(n - 1) - ти ред, получен от първоначалния чрез задраскване на реда и колоната, в пресечната точка на които се намира избраният елемент aij. Означава се с Mij.

Нека разгледаме един пример детерминанта на матрицата 3 - редът му:
Минори и алгебрични допълнения, детерминантата на матрицата 3 е нейният ред, тогава според определението второстепенен, второстепенен M12, съответстващ на елемент a12, ще бъде детерминант:В същото време с помощта непълнолетниможе да улесни изчислителната задача детерминанта на матрицата. Трябва да го разпространим матрична детерминантапо някаква линия и след това детерминантще бъде равна на сумата от всички елементи на тази линия по техните второстепенни. Разграждане детерминанта на матрицата 3 - неговият ред ще изглежда така:


, знакът пред произведението е (-1) n, където n = i + j.

Алгебрични добавки:

Алгебрично допълнениеелемент aij се нарича its незначителен, взети със знак „+“, ако сумата (i + j) е четно число, и със знак „-“, ако тази сума е нечетно число. Означава се с Aij.
Аij = (-1)i+j × Мij.

Тогава можем да преформулираме свойството, посочено по-горе. Матрична детерминантаравна на сумата от произведението на елементите на определен ред (ред или колона) матрицикъм съответните им алгебрични добавки. Пример.

Без матрична трансформация детерминантата е лесна за изчисляване само за матрици с размер 2x2 и 3x3. Това се прави по формулите:

За матрица

детерминантата е равна на:

За матрица

детерминантата е равна на:

a11*(a22*a33-a23*a32)-a12*(a21*a33-a23*a31)+a13*(a21*a32-a22*a31)

Изчисленията за матрици с размер 4x4 и по-големи са трудни, така че те трябва да бъдат трансформирани в съответствие със свойствата на детерминантата. Трябва да се стремим да получим матрица, в която всички стойности с изключение на една от всяка колона или всеки ред са равни на нула. Пример за такава матрица:

За него детерминантата е равна на:

A12*(a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41))

забележи, че

a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41)

Това е изчисляването на детерминантата на матрицата, получена чрез изваждане на ред и колона, в пресечната точка на които има единственото ненулево число на реда/колона, по което разлагаме матрицата:

И ние умножаваме получената стойност по същото число от колоната/реда „нула“, докато числото може да бъде умножено по -1 (всички подробности по-долу).

Ако редуцираме матрицата до триъгълна форма, тогава нейният детерминант се изчислява като произведението на цифрите по диагонала. Например за матрицата

Детерминантата е равна на:

Същото трябва да се направи с матрици 5x5, 6x6 и други големи размери.

Матричните трансформации трябва да се извършват в съответствие със свойствата на детерминантата. Но преди да преминем към практиката на изчисляване на детерминантата за матрици 4x4, нека се върнем към матриците 3x3 и да разгледаме по-подробно как се изчислява детерминантата за тях.

Незначителен

Детерминантата на матрицата не е много лесна за разбиране, тъй като в нейната концепция има рекурсия: детерминантата на матрица се състои от няколко елемента, включително детерминантата на (други) матрици.

За да избегнем засядането тук, нека (временно) приемем точно сега, че детерминантата на една матрица е

се изчислява по следния начин:

Нека също да разберем конвенциите и понятията като незначителенИ алгебрично допълнение.

Буквата i означава поредния номер на реда, а буквата j - поредния номер на колоната.

a ij означава матричния елемент (цифра) в пресечната точка на ред i и колона j.

Нека си представим матрица, която се получава от оригиналната чрез премахване на ред i и колона j. Детерминантата на новата матрица, която се получава от оригиналната чрез премахване на ред i и колона j, се нарича минор M ij на елемент a ij .

Нека илюстрираме казаното. Да предположим, че е дадена матрица

След това, за да определим второстепенното M 11 на елемента a 11, трябва да създадем нова матрица, която се получава от оригиналната чрез премахване на първия ред и първата колона:

И изчислете детерминантата за него: 2*1 – (-4)*0 = 2

За да определим второстепенното M 22 на елемента a 22, трябва да създадем нова матрица, която се получава от оригиналната чрез премахване на втория ред и втората колона:

И изчислете детерминантата за него: 1*1 -3*3 = -8

Алгебрично допълнение

Алгебричното допълнение A ij за елемент a ij е второстепенното M ij на този елемент, взето със знака „+“, ако сумата от индексите на реда и колоната (i + j), в пресечната точка на които стои този елемент, е четно и със знак „-“, ако сборът на индексите е нечетен.

По този начин,

За матрицата от предишния пример

A 11 = (-1) (1+1) * (2*1 – (-4)*0) = 2

A 22 = (-1) (2+2) * (1*1 -3*3) = -8

Изчисляване на детерминанта за матрици

Детерминантата от ред n, съответстваща на матрица A, е число, обозначено с det A и изчислено по формулата:

Всичко в тази формула вече ни е познато, нека сега изчислим детерминантата на матрицата за

Какъвто и да е номерът на ред i = 1,2,..., n или колона j = 1, 2,..., n, детерминантата от n-ти ред е равна на сумата от продуктите на елементите на този ред или този колона чрез техните алгебрични допълнения, т.е.

Тези. детерминантата може да се изчисли от всяка колона или всеки ред.

За да проверим това, нека изчислим детерминантата за матрицата от последния пример, използвайки втората колона

Както можете да видите, резултатът е идентичен и за тази матрица детерминантата винаги ще бъде -52, независимо от кой ред или колона го изчисляваме.

Свойства на матричната детерминанта

  1. Редовете и колоните на детерминантата са равни, т.е. стойността на детерминантата няма да се промени, ако нейните редове и колони се разменят, като се запази редът им. Тази операция се нарича транспониране на детерминантата. В съответствие с формулираното свойство det A = det AT.
  2. Когато два реда (или две колони) се разменят, детерминантата запазва абсолютната си стойност, но променя знака на противоположния.
  3. Детерминанта с два еднакви реда (или колони) е равна на нула.
  4. Умножаването на всички елементи от определен ред (или колона) на детерминанта по число λ е еквивалентно на умножаване на детерминантата по число λ.
  5. Ако всички елементи на който и да е ред (или колона) на детерминанта са равни на нула, тогава самата детерминанта е равна на нула.
  6. Ако елементите на два реда (или две колони) на детерминантата са пропорционални, то детерминантата е равна на нула.
  7. Ако към елементите на определен ред (или колона) от детерминанта добавим съответните елементи от друг ред (друга колона), умножени по произволен коефициент λ, тогава стойността на детерминантата няма да се промени.
  8. Сумата от произведенията на елементите на всеки ред (която и да е колона) на детерминантата от съответните алгебрични добавки на елементите на всеки друг ред (която и да е друга колона) е равна на нула.
  9. Ако всички елементи на i-тия ред на детерминантата са представени като сума от два члена a ij = b j + c j, тогава детерминантата е равна на сумата от две детерминанти, чиито всички редове, с изключение на i-тия, са еднакви тъй като в дадения детерминант i-ти ред в един от членовете се състои от елементи b j , а в другия - от елементи c j . Подобно свойство е вярно за колоните на детерминантата.
  10. Детерминантата на произведението на две квадратни матрици е равна на произведението на техните детерминанти: det (A * B) = det A * det B.

За да изчислите детерминантата от произволен ред, можете да използвате метода за последователно намаляване на реда на детерминантата. За да направите това, използвайте правилото за разлагане на детерминантата на елементите на ред или колона. Друг начин за изчисляване на детерминанти е да се използват елементарни трансформации с редове (или колони), главно в съответствие със свойствата на детерминанти 4 и 7, за да се намали детерминантата до формата, когато под главния диагонал на детерминантата (дефинирана по същия начин както при квадратните матрици) всички елементи са равни на нула. Тогава детерминантата е равна на произведението на елементите, разположени на главния диагонал.

При изчисляване на детерминантата чрез последователно понижаване на реда, за да се намали обемът на изчислителната работа, препоръчително е да се използва свойството на 7 детерминанти, за да се постигне нулиране на част от елементите на всеки ред или колона на детерминантата, което ще намали броя на детерминантите изчислени алгебрични добавки.

Намаляване на матрица до триъгълна форма, трансформиране на матрица за улесняване на изчисляването на детерминанта

Методите, показани по-долу, не са практични за матрици 3x3, но предлагам да разгледаме същността на методите, използвайки прост пример. Нека използваме матрицата, за която вече сме изчислили детерминантата - ще ни бъде по-лесно да проверим правилността на изчисленията:

Използвайки 7-то свойство на определителя, извадете от втория ред третия, умножен по 2:

от третия ред изваждаме съответните елементи от първия ред на детерминанта, умножени по 3:

Тъй като елементите на детерминантата, разположени под главния му диагонал, са равни на 0, тогава определянето е равно на произведението на елементите, разположени на главния диагонал:

1*2*(-26) = -52.

Както можете да видите, отговорът съвпадна с получените по-рано.

Нека си спомним формулата за детерминанта на матрицата:

Детерминантата е сумата от алгебричните допълнения, умножени по членовете на един от редовете или една от колоните.

Ако в резултат на трансформации направим така, че един от редовете (или колоната) да се състои изцяло от нули, с изключение на една позиция, тогава няма да е необходимо да броим всички алгебрични добавки, тъй като те със сигурност ще бъдат равни на нула . Подобно на предишния метод, този е препоръчително да се използва за големи матрици.

Нека да покажем пример на същата матрица:

Забелязваме, че втората колона на детерминантата вече съдържа един нулев елемент. Добавяме към елементите на втория ред елементите на първия ред, умножени по -1. Получаваме:

Нека изчислим детерминантата от втората колона. Трябва да изчислим само едно алгебрично добавяне, тъй като останалите очевидно се редуцират до нула:

Изчисляване на детерминанта за матрици с размери 4х4, 5х5 и по-големи

За да избегнете твърде много изчисления за големи матрици, трябва да направите трансформациите, описани по-горе. Нека дадем няколко примера.

Изчисляване на решаващи матрици

Решение Използвайки 7-то свойство на детерминанта, изваждаме третия от втория ред, а от четвъртия ред съответните елементи от първия ред на детерминантата, умножени съответно по 3, 4, 5. Ще съкратим тези действия както следва: (2) - (13; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. Получаваме:

Да изпълним действията

Задача 1.

За дадена детерминанта

намерете минори и алгебрични допълнения на елементите α 12, α 32. Изчислителна детерминанта : а) разлагането му на елементите от първия ред и втората колона; б) като преди това е получил нули в първия ред.

Намираме:

М 12 =
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

М 32 =
= –12+12–12–8 = –20.

Алгебричните допълнения на елементите a 12 и a 32 са съответно равни:

A 12 = (–1) 1+2 M 12 = –(–18) = 18,

A 32 = (–1) 3+2 M 32 = –(–20) = 20.

а) Нека изчислим детерминантата, като я разширим в елементите на първия ред:

A 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 + a 14 A 14 = –3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

Нека разширим детерминантата в елементите на втората колона:

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

б) Нека изчислим , като преди това сме получили нули в първия ред. Използваме съответното свойство на детерминантите. Нека умножим третата колона на детерминантата по 3 и да я добавим към първата, след това да умножим по –2 и да я добавим към втората. Тогава в първия ред всички елементи с изключение на един ще бъдат нули. Нека разложим така получената детерминанта на елементите от първия ред и я изчислим:

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(В детерминанта от трети ред получихме нули в първата колона поради същото свойство на детерминантите, както по-горе.) ◄

Задача 2.

Дадена е система от линейни нееднородни алгебрични уравнения

Проверете дали тази система е съвместима и ако е така, решете я: а) като използвате формулите на Крамер; б) използване на обратна матрица (матричен метод); в) метод на Гаус.

Нека проверим съвместимостта на тази система с помощта на теоремата на Кронекер-Капели. Използвайки елементарни трансформации, намираме ранга на матрицата

А =

дадена система и ранга на разширената матрица

IN =

.

За да направите това, умножете първия ред на матрица B по –2 и го добавете с втория, след това умножете първия ред по –3 и го добавете с третия, разменете втората и третата колони. Получаваме

IN =

~

~
.

Следователно ранг А= ранг IN= 3 (т.е. броят на неизвестните). Това означава, че оригиналната система е последователна и има уникално решение.

а) По формулите на Крамер

x = х/ , y = г/ , z = z/ ,

=
= – 16;

х =
= 64;

г =
= – 16;

z=
= 32,

намираме: х = 64/(– 16) = – 4, г = – 16/(– 16) = 1, z = 32/(– 16)= – 2;

б) За да намерим решение на системата с помощта на обратната матрица, записваме системата от уравнения в матрична форма AH = . Решението на системата в матрична форма има формата х = А –1 . Използвайки формулата, намираме обратната матрица А –1 (съществува, защото = det А = – 16 ≠ 0):

А 11 =
= – 15, А 21 = –
= 16, А 31 =
= – 11,

А 12 = –
= – 3, А 22 =
= 0, А 32 = –
= 1,

А 13 =
= – 14, А 23 = –
= 16, А 33 =
= – 6,

А –1 =

.

Системно решение:

х = =
=
=

.

Така, х = –4, г = 1, z = –2;

в) Да решим системата по метода на Гаус. Да изключим хот второто и третото уравнение. За да направите това, умножете първото уравнение по 2 и го извадете от второто, след това умножете първото уравнение по 3 и го извадете от третото:

От получената система намираме х = – 4, г = 1, z = –2. ◄

Задача 5.

Върховете на пирамидата са в точките A(2; 3; 4), B(4; 7; 3), C(1; 2; 2)И D(– 2; 0; – 1).Изчислете: а) площта на лицето ABC; б) площ на напречното сечение, минаваща през средата на ребрата AB, A.C., AD; в) обем на пирамидата ABCD.

A) Известно е, че S ABC =
. Намираме:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 аз + 5 й + 2 к.

Накрая имаме:

S ABC =
=
;

б) Средни точки на ребрата AB, слънцеИ Адса в точки К (3; 5; 3,5),

M (1,5; 2,5; 3),н (0; 1,5; 1,5) . След това имаме:

С клане =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3.25i – 1.5j – 2.25k,

С клане =
=
;

в) Тъй като V празник =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, Че V = 11/6 . ◄

Проблем 6

Сила Е = (2; 3;– 5) приложен към точка A(1; – 2; 2). Изчислете: а) работа на силата Е в случай, че точката на неговото приложение, движейки се праволинейно, се премества от позицията Ана позиция B(1; 4; 0); б) моментен модул Е спрямо точката IN.

А) Тъй като А =Е · с , с =
= (0; 6; – 2) ,

Че Е · = 2·0 + 3·6 + (– 5)(– 2) = 28; А = 28;

б) Силов момент М =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 аз + 4 й + 12 к .

следователно =
= 4
. ◄

Задача 8.

Известни върхове O(0; 0),А(– 2; 0) успоредник OASди пресечната точка на неговите диагонали B(2;–2). Запишете уравненията на страните на успоредника.

Странично уравнение ОАможете веднага да напишете: г = 0 . Освен това, тъй като точката INе средата на диагонала AD(Фиг. 1), след което с помощта на формулите за разделяне на сегмент наполовина можете да изчислите координатите на върха д(х; г) :

2 =
, –2 =
,

където х = 6 , г = –4 .

Сега можете да намерите уравненията за всички останали страни. Като се има предвид успоредността на страните О.А. И CD, съставяме уравнението на страната CD: г = –4 . Странично уравнение O.D.се компилира от две известни точки:

=
,

където г = – х, 2 х + 3 г = 0 .

Накрая намираме уравнението на страната A.C., предвид факта, че минава през известна точка А (– 2; 0)успоредна на известна линия O.D.:

г – 0 = – (х + 2) или 2 х + 3 г + 4 = 0 . ◄


Задача 9.

Дадени са върховете на триъгълник ABC: А(4; 3), б(– 3; – 3), ° С(2; 7) . Намирам:

а) странично уравнение AB;

б) уравнение на височината CH;

в) уравнение на медианата А.М.;

г) точка нсредно пресичане А.М.и височини CH;

д) уравнение на права, минаваща през връх ° Суспоредно на страната AB;

д) разстояние от точката ° Скъм права линия AB.

А) Използване на уравнението права линия, минаваща през две точки, получаваме уравнението на страната AB:

=
,

където 6(х – 4) = 7(г – 3) или 6 х – 7 г – 3 = 0 ;

б) Според уравнението

г = kx + b (к = tg α ) ,

прав наклон AB к 1 =6/7 . Като се вземат предвид условия за перпендикулярност на линиите ABИ CHнадморска височина наклон CH к 2 = –7/6 (к 1∙ к 2 = –1). По точка ° С(2; 7) и наклон к 2 = –7/6 съставете уравнението на височината CH: (г – г 0 = к(х – х 0 ) )

г – 7 = – (х – 2) или 7 х + 6 г – 56 = 0 ;

в) По известни формули намираме координатите х, гсредата Мсегмент пр.н.е.:

х = (– 3 + 2)/2 = –1/2, г = (– 3 + 7)/2 = 2.

Сега за две известни точки АИ Мсъставете медианното уравнение А.М.:

=
или 2 х – 9 г + 19 = 0 ;

г) Да се ​​намерят координатите на точка нсредно пресичане А.М.и височини CHсъставете система от уравнения

Решавайки го, получаваме н (26/5; 49/15) ;

д) Тъй като правата, минаваща през връх ° С, успоредно на страната AB, тогава техните ъглови коефициенти са равни к 1 =6/7 . Тогава, съгласно уравнението:

г – г 0 = к(х – х 0 ) , по точка ° Си наклон к 1 съставяне на уравнения на права линия CD:

г – 7 = (х – 2) или 6 х – 7 г + 37 = 0 ;

f) Разстояние от точката ° Скъм права линия ABизчислено по добре познатата формула:

д = | CH| =

Решението на този проблем е илюстрирано на фиг. 2 ◄

Проблем 10.

Дадени са четири точки А 1 (4; 7; 8), А 2 (– 1;13; 0), А 3 (2; 4; 9), А 4 (1; 8; 9) . Съставете уравнения:

а) самолети А 1 А 2 А 3 ; б) прав А 1 А 2 ;

в) права А 4 М, перпендикулярна на равнината А 1 А 2 А 3 ;

г) права А 4 н, успоредна на правата А 1 А 2 .

Изчисли:

д) синус на ъгъла между правата А 1 А 4 и самолет А 1 А 2 А 3 ;

д) косинус на ъгъла между координатната равнина ОТНОСНОxyи самолет А 1 А 2 А 3 .

А) Използване на формулата равнинни уравнения от три точки, съставяме уравнението на равнината А 1 А 2 А 3 :

където 6x – 7y – 9z + 97 = 0;

б) Като се има предвид уравнения на права, минаваща през две точки, уравнения на права линия А 1 А 2 може да се запише във формата

=
=
;

в) От условия за перпендикулярност на линията А 4 М и самолети А 1 А 2 А 3 следва, че като насочващ вектор на правата сможете да вземете нормален вектор н = (6; – 7; – 9) самолет А 1 А 2 А 3 . След това уравнението на правата А 4 Мкато се вземат предвид канониченуравнения на права линия ще бъдат записани във формата

=
=
;

г) Тъй като е права А 4 нуспоредна на правата А 1 А 2 , след това техните насочващи вектори с 1 И с 2 могат да се считат за идентични: с 1 =с 2 = (5; – 6; 8) . Следователно уравнението на правата А 4 низглежда като

=
=
;

г) По формулата за намиране големината на ъгъла между права линия и равнина

грях φ =

е) В съответствие с формулата за намиране ъгъл между равнините

cos φ =
=
◄

Проблем 11.

Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките М(4; 3; 1) И

н(– 2; 0; – 1) успоредна на правата, прекарана през точките А(1; 1; – 1) И

б(– 3; 1; 0).

Според формулата уравнения на линия в пространствотоминаваща през две точки, уравнението на права ABизглежда като

=
=
.

Ако равнината минава през точка М(4; 3; 1) , тогава неговото уравнение може да бъде написано във формата А(х – 4) + б(г – 3) + ° С(z – 1) = 0 . Тъй като тази равнина също минава през точката н(– 2; 0; – 1) , тогава условието е изпълнено

A(– 2 – 4) + B(0 – 3) + C(– 1 – 1) = 0или 6A + 3B + 2C = 0.

Тъй като желаната равнина е успоредна на намерената права AB, след което се вземат предвид формулите условия за успоредност на права и равнинание имаме:

–4A + 0B + 1C = 0или 4A – C = 0.

Решаване на системата

намираме това ° С = 4 А, б = – А. Нека заместим получените стойности СЪСИ бв уравнението на желаната равнина, имаме

A(x – 4) – A(y – 3) + 4A(z – 1) = 0.

защото А ≠ 0 , тогава полученото уравнение е еквивалентно на уравнението

3(x – 4) – 14(y – 3) + 12(z – 1) = 0. ◄

Проблем 12.

Намерете координати х 2 , г 2 , z 2 точки М 2 , симетрична точка М 1 (6; – 4; – 2) спрямо самолета х + г + z – 3 = 0 .

Нека запишем параметричните уравнения на правата М 1 М 2 , перпендикулярна на тази равнина: х = 6 + T, г = – 4 + T, z = – 2 + T. След като ги решим заедно с уравнението на дадената равнина, намираме T = 1 и следователно точката Мпресечна точка на права линия М 1 М 2 с този самолет: М (7; – 3; – 1) . Тъй като точката Ме средата на сегмента М 1 М 2 , тогава равенствата са верни.; в) парабола с директриса b

  • Елементи на линейната алгебра Този раздел включва основните видове проблеми, които се обсъждат в темата „Линейна алгебра“: изчисляване на детерминанти, действия

    Документ

    Квадратна матрица намирама) незначителен елемент; б) алгебричен допълнение елемент; V) ... намирама) незначителен елемент; б) алгебричен допълнение елемент; в) неговия детерминант, като преди това е получил нули в първия ред. Решение а) Незначителен елемент ...

  • аз елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия

    Документ

    ... елементматрица". Определение. Алгебрични допълнение елементаик матрица A се нарича незначителен Mik на тази матрица, умножено по (-1) и + k: Алгебрични допълнение елемент...метод. Пример 1. Дадена е матрица намирам det A. Решение. Да трансформираме...

  • Решение: когато добавяте две матрици, към всеки елемент от първата матрица трябва да добавите елемент от втората матрица

    Решение

    Go колона; Наречен незначителен елемент. Тогава по дефиниция се счита (1) – алгебричен допълнение елемент, тогава (2) ... Линейни операции върху матрици Задача. намирамсумата от матрици и и продуктът... е съвместим, тогава се изисква намирамнеговото общо решение. ...

  • Методически препоръки за провеждане на извънаудиторна самостоятелна работа на студент по дисциплината „Математика” за специалността

    Насоки

    Такава детерминанта се нарича незначителен елемент aij. Определен незначителен– Mij. Пример: намирам незначителен елемента12 на детерминантата За... една долна и незначителенравна на: Алгебрични допълнение елементдетерминантата се нарича незначителенвзет с неговия...

    • MinorM ijелемент a ij детерминант н -тият ред се нарича детерминанта на реда ( n-1 ), получена от дадена детерминанта чрез задраскване на реда и колоната, в които се намира този елемент ( аз -ти ред и й та колона).

    Алгебрично допълнениеелемент a ij се дава от израза:

    Детерминанти на реда н>3 се изчисляват с помощта на теоремата за разширяването на детерминантата в елементите на ред или колона:

    Теорема.Детерминантата е равна на сумата от произведенията на елементите на всеки ред или колона от алгебричните допълнения, съответстващи на тези елементи, т.е.

    Пример.

    Изчислете детерминантата, като я разложите на елементи от ред или колона:

    Решение

    1. Ако във всеки един ред или една колона има само един елемент, различен от нула, тогава няма нужда да се трансформира детерминантата. В противен случай, преди да приложим теоремата за разлагането на детерминантата, ние я преобразуваме, като използваме следното свойство: ако добавим към елементите на ред (колона) съответните елементи на друг ред (колона), умножени по произволен множител, тогава стойността на детерминантата няма да се промени.

    От елементите на ред 3 изваждаме съответните елементи на ред 2.

    От елементите на колона 4 извадете съответните елементи на колона 3, умножени по 2.

    Разширяваме детерминантата в елементите на третия ред

    2. Получената детерминанта от 3-ти ред може да се изчисли с помощта на правилото на триъгълника или правилото на Sarrus (виж по-горе). Въпреки това, елементите на детерминантата са доста големи числа, така че нека разширим детерминантата, като първо я трансформираме:

    От елементите на втория ред извадете съответните елементи на първия ред, умножени по 3.

    От елементите на първия ред изваждаме съответните елементи на третия ред.

    Към елементите от ред 1 добавяме съответните елементи от ред 2

    Детерминантата на нулевия ред е 0.

    И така, детерминантите на реда н>3 се изчисляват:

    · трансформиране на детерминантата в триъгълна форма с помощта на свойствата на детерминантите;

    · разлагане на детерминантата на термини или елементи на колони, като по този начин се понижава нейният ред.

    Ранг на матрицата.

    Рангът на матрицата е важна числена характеристика. Най-типичният проблем, който изисква намиране на ранга на матрица, е проверката на съгласуваността на система от линейни алгебрични уравнения.

    Да вземем матрицата А поръчка стрх н . Позволявам к – някакво естествено число, непревишаващо най-малкото число стр И н , това е,

    Малък k-ти редматрици А се нарича детерминанта на квадратна матрица от ред к х к , съставен от матрични елементи А , които са в предварително избрани к линии и к колони и подреждането на матричните елементи А е запазено.

    Помислете за матрицата:

    Нека запишем няколко минора от първи ред на тази матрица. Например, ако изберем третия ред и втората колона на матрицата А , тогава нашият избор съответства на второстепенния det(-4)=-4 от първи ред. С други думи, за да получим този минор, ние изтрихме първия и втория ред, както и първата, третата и четвъртата колона от матрицата А , а от останалия елемент съставиха детерминанта.

    По този начин минори от първи ред на една матрица са самите матрични елементи.

    Нека покажем няколко второстепенни второстепенни. Изберете два реда и две колони. Например вземете първия и втория ред и третата и четвъртата колона. С този избор имаме минор от втори ред
    .

    Друг минор от втория ред на матрицата Ае незначителен

    По подобен начин могат да бъдат намерени минори от трети ред на матрицата А . Тъй като в матрицата АИма само три реда, след което ги изберете всички. Ако изберем първите три колони на тези редове, ще получим минор от трети ред:

    Друг второстепенен от трети ред е:

    За дадена матрица А няма второстепенни от порядък по-висок от трети, тъй като

    Колко непълнолетни има? к -Ехаматричен ред Апоръчка стр х н ? Много!

    Брой непълнолетни от ред кможе да се изчисли по формулата:

    Ранг на матрицатасе нарича най-високият порядък на ненулевия минор на матрица.

    Ранг на матрицата А означен като ранг (A). От определенията за ранг на матрица и второстепенна матрица можем да заключим, че рангът на нулева матрица е равен на нула, а рангът на ненулева матрица е не по-малък от единица.

    И така, първият метод за намиране на ранга на матрица е метод за изброяване на непълнолетни . Този метод се основава на определяне на ранга на матрицата.

    Нека трябва да намерим ранга на матрицата А поръчка стр х н .

    Ако има поне един елемент от матрицата, който е различен от нула, тогава рангът на матрицата е най-малко равен на единица (тъй като има второстепенен елемент от първи ред, който не е равен на нула).

    След това разглеждаме минорите от втори ред. Ако всички минори от втори ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на единица. Ако има поне един ненулев минор от втори ред, тогава продължаваме да изброяваме минорите от трети ред, а рангът на матрицата е най-малко равен на две.

    По същия начин, ако всички минори от трети ред са нула, тогава рангът на матрицата е две. Ако има поне един минор от трети ред, различен от нула, тогава рангът на матрицата е поне три и преминаваме към изброяване на минори от четвърти ред.

    Имайте предвид, че рангът на матрицата не може да надвишава най-малкото число стр И н .

    Пример.

    Намерете ранга на матрицата
    .

    Решение.

    1. Тъй като матрицата е различна от нула, нейният ранг е не по-малък от единица.

    2. Един от второстепенните второстепенни
    е различен от нула, следователно рангът на матрицата А поне две.

    3. Непълнолетни от трети ред

    Всички минори от трети ред са равни на нула. Следователно рангът на матрицата е две.

    ранг (A) = 2.

    Има други методи за намиране на ранга на матрица, които ви позволяват да получите резултата с по-малко изчислителна работа.

    Един такъв метод е edge minor метод . Използвайки този метод, изчисленията са донякъде намалени, но все още са доста тромави.

    Има и друг начин за намиране на ранга на матрица - чрез елементарни трансформации (метод на Гаус).

    Следните матрични трансформации се наричат елементарен :

    · пренареждане на редове (или колони) на матрицата;

    · умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрица по произволно число к, различен от нула;

    · добавяне към елементите на произволен ред (колона) на съответните елементи от друг ред (колона) на матрицата, умножени по произволно число к.

    Матрица B се нарича еквивалентна на матрица A, Ако INполучен от Аизползвайки краен брой елементарни трансформации. Еквивалентността на матрицата се обозначава със символа « ~ » , тоест е написано A~B.

    Намирането на ранга на матрица с помощта на елементарни матрични трансформации се основава на твърдението: ако матрицата IN получени от матрица А използвайки краен брой елементарни трансформации, тогава r ang(A) = ранг(B) , т.е. ранговете на еквивалентните матрици са равни .

    Същността на метода на елементарните трансформации е да намалим матрицата, чийто ранг трябва да намерим, до трапецовидна (в частен случай до горна триъгълна) с помощта на елементарни трансформации.

    Рангът на матрици от този тип е много лесен за намиране. Той е равен на броя редове, съдържащи поне един ненулев елемент. И тъй като рангът на матрицата не се променя при извършване на елементарни трансформации, получената стойност ще бъде рангът на оригиналната матрица.

    Пример.

    Използвайки метода на елементарните трансформации, намерете ранга на матрицата

    .

    Решение.

    1. Разменете първия и втория ред на матрицата А , тъй като елементът a 11 =0, и елементът а 21различно от нула:

    ~

    В получената матрица елементът е равен на единица. В противен случай трябваше да умножите елементите на първия ред по . Нека направим всички елементи от първата колона, с изключение на първата, нула. Във втория ред вече има нула, към третия ред добавяме първия, умножен по 2:


    Елементът в получената матрица е различен от нула. Умножете елементите на втория ред по

    Втората колона на получената матрица има желаната форма, тъй като елементът вече е равен на нула.

    защото , А , след това разменете третата и четвъртата колона и умножете третия ред на получената матрица по:

    Оригиналната матрица е намалена до трапецовидна, нейният ранг е равен на броя на редовете, съдържащи поне един ненулев елемент. Има три такива реда, следователно рангът на оригиналната матрица е три. r ang(A)=3.


    Обратна матрица.

    Нека имаме матрица А .

    Матрица, обратна на матрица А , се нарича матрица А-1 такова, че A -1 A = A A -1 = E .

    Обратна матрица може да съществува само за квадратна матрица. Освен това самата тя е със същото измерение като оригиналната матрица.

    За да има квадратна матрица обратна, тя трябва да е неособена (т.е. Δ ≠0 ). Това условие също е достатъчно за съществуването А-1 към матрицата А . И така, всяка неособена матрица има обратна и освен това уникална.

    Алгоритъм за намиране на обратната матрица с помощта на примера на матрица А :

    1. Намерете детерминанта на матрицата. Ако Δ ≠0 , след това матрицата А-1 съществува.

    2. Нека създадем матрица B от алгебрични добавки на елементи от оригиналната матрица А . Тези. в матрицата IN елемент аз - о линии и й - тата колона ще бъде алгебричното допълнение A ij елемент a ij оригинална матрица.

    3. Транспонирайте матрицата IN и получаваме б T .

    4. Намерете обратната матрица, като умножите получената матрица б T на брой .

    Пример.

    За дадена матрица намерете обратната и проверете:

    Решение

    Нека използваме описания по-горе алгоритъм за намиране на обратната матрица.

    1. За да разберете съществуването на обратна матрица, е необходимо да изчислите детерминантата на тази матрица. Нека използваме правилото на триъгълника:

    Матрицата е неединична, следователно е обратима.

    Нека намерим алгебричните допълнения на всички матрични елементи:



    От намерените алгебрични добавки се съставя матрицата:

    и се транспонира

    Разделяйки всеки елемент от получената матрица на неговия детерминант, получаваме матрица, обратна на оригиналната:

    Проверката се извършва чрез умножаване на получената матрица по оригиналната. Ако обратната матрица е намерена правилно, резултатът от умножението е матрицата на идентичността.

    За да намерите обратната матрица за дадена, можете да използвате метода на Гаус (разбира се, първо трябва да се уверите, че матрицата е обратима), която оставям за самостоятелна работа.

    Нарича се минорът на който и да е елемент от определителя детерминанта на второто

    ред, получен чрез изтриване от дадена детерминанта на реда и колоната, съдържащи този елемент.Толкова незначителен за елемент

    за елемент:

    Алгебричното допълнение на който и да е елемент от детерминантата е минорът на този елемент, взет с фактора, където i е номерът на реда на елемента, j е номерът на колоната. По този начин алгебричното допълнение на елемента е:

    Пример. Намерете алгебрични допълнения за елементи от детерминантата.

    Теорема. Детерминантата е равна на сбора от произведенията на елементите на която и да е от неговите колони или редове и техните алгебрични допълнения.

    С други думи, за детерминантата са валидни следните равенства.

    Доказателството на тези равенства се състои в замяна на алгебричните добавки с техните изрази чрез елементите на детерминантата и получаваме израз (3). Препоръчително е да направите това сами. Замяната на детерминанта с помощта на една от шестте формули се нарича разлагане на детерминантата на елементите на съответната колона или ред. Тези разширения се използват за изчисляване на детерминанти.

    Пример.Изчислете детерминантата, като я разгънете в елементите на втората колона.

    Използвайки теоремата за разширяването на детерминанта от трети ред в елементи на ред или колона, е възможно да се докаже валидността на свойства 1-8 за детерминанти от трети ред. Целта е да се провери валидността на това твърдение. Свойствата на детерминантите и теоремата за разлагането на детерминанта на елементи от колона или ред позволяват да се опростят изчисленията на детерминантите.

    Пример. Изчислете детерминантата.

    Нека изчислим общия коефициент "2" на елементите от втория ред и след това същия общ коефициент на елементите от третата колона.

    Нека добавим елементите от първия ред към съответните елементи от втория ред, след това третия ред.

    Нека разширим детерминантата в елементите на първата колона.